本文目录一览：

• 1、斯蒂尔杰斯积分的介绍
• 2、什么是黎曼积分和勒贝格积分?两者区别是什么?
• 3、关于斯蒂尔杰斯积分与勒贝格积分
• 4、亨利·勒贝格的勒贝格积分
• 5、导数的拉氏变换

斯蒂尔杰斯积分的介绍

1、如果积分限是－∞到∞，∫e^(-x^2)dx =√π 。若积分限0到∞，根据偶函数的性质可知，∫e^(-x^2)dx =√π/2。

2、黎曼-斯蒂尔杰斯积分：黎曼积分的推广，用一般的函式g(x)代替x作为积分变数，也就是将黎曼和中的 推广为 。 勒贝格-斯蒂尔杰斯积分：勒贝格积分的推广，推广方式类似于黎曼-斯蒂尔杰斯积分，用有界变差函式g代替测度 。

3、此题中∫e^（x^2）dx 是超越积分(不可积积分)，它的原函数是非常规的。结果 ∫e^（x^2）dx=1/2 √π erfi(x) + C 注：其中erfi(x)是引入的函数， 它为 x的（余）误差函数，无法取值 。

4、因为求出来的表达结果不是初等函数，所以用常规的积分方法就积不出来。这类积分叫超越积分。常见的处理方法有幂级数展开、拉普拉斯变换、留数法等。如果f(x)在[a，b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a，b]上可积。

5、绝对连续性、绝对值积分等 积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。其他的积分还有黎曼积分、达布积分、勒贝格积分、黎曼－斯蒂尔杰斯积分、数值积分。积分具有线性性和保号性。

6、积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。和其他类别，如：黎曼积分；达布积分；勒贝格积分；黎曼－斯蒂尔杰斯积分；数值积分等。

什么是黎曼积分和勒贝格积分?两者区别是什么?

1、如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

2、几何意义是相同的。但计算的方式有差别。 就像数硬币。李曼积分是一个一个的数，勒贝格积分是把面值相同的分成一组，然后一组一组的数。

3、从上图可以看到，勒贝格积分的同一个值域划分区间，有可能对应若干个定义域区间，其实就是求对应同一个函数值相对应的定义域的测度之和，而黎曼积分则反过来。

4、勒贝格积分是为了解决黎曼积分一些说不清楚的特殊函数的积分问题而引入的。例如：一个函数在所有有理点上为1，无理点上面为0的话，黎曼积分的定义这个函数就没有办法积分了。但用勒贝格的办法就可积。

5、其中的差别主要是在定义某些特殊的函数：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。最常见的积分定义是黎曼积分和勒贝格积分。

6、闭区间[a，b]上的连续函数，一定可测，所以两种积分结果是一样的，积分过程不同而已。就算是对y进行黎曼积分，也是划分y，找近似x，求和，取极限。与勒贝格积分的原理还是不同的。以上都是个人观点，如果不对欢迎指正。

关于斯蒂尔杰斯积分与勒贝格积分

1、黎曼-斯蒂尔杰斯（简记为R-S）积分和勒贝格-斯蒂尔杰斯（简记为L-S）积分的统称。由荷兰数学家斯蒂尔杰斯提出，故名。

2、常见在不定积分中不能积分的函数有sinx/x、e^(x^2)、1/lnx、sinsinx、ln(1+tanx)等。例如：求sinx/x的不定积分。

3、如果积分限是－∞到∞，∫e^(-x^2)dx =√π 。若积分弯兆限0到∞，根据偶函数的性质可知，∫e^(-x^2)dx =√π/2。

4、世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分，例如黎曼积分（简称R积分）、黎曼-斯蒂尔杰斯积分（简称R-S积分）等。只要相应的函数性质良好，用这些积分来计算曲边形面积、物体重心、物理学上的功、能等，是很方便的。

5、黎曼-斯蒂尔杰斯积分：黎曼积分的推广，用一般的函式g(x)代替x作为积分变数，也就是将黎曼和中的 推广为 。 勒贝格-斯蒂尔杰斯积分：勒贝格积分的推广，推广方式类似于黎曼-斯蒂尔杰斯积分，用有界变差函式g代替测度 。

亨利·勒贝格的勒贝格积分

函数有界；在该区间上连续；有有限个间断点。函数可以定义在点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。

勒贝格积分的出现源于概率论等理论中对更为不规则的函数的处理需要。黎曼积分无法处理这些函数的积分问题。因此，需要更为广义上的积分概念，使得更多的函数能够定义积分。同时，对于黎曼可积的函数，新积分的定义不应当与之冲突。

用勒贝格积分来求和： 1*0+0*1 = 0。

那积分区域是指整个球面的下半部分：z ≤ 0。(注意不是球体)，所以是空心圆。

可以重建微积分基本定理，从而形成一门新的学科：实变函数论。成为分析的“分水岭”，人们常把勒贝格以前的分析学称为经典分析，而把以由勒贝格积分引出的实变函数论为基础而开拓出来的分析学称为现代分析。

积分的性质：如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

导数的拉氏变换

1、拉氏变换（Laplace transform）是应用数学中常用的一种积分变换，其符号为 L[f(t)] 。

2、这说明拉氏变换是线性变换。微分定理 设 则 式中——函数在 时刻的值，即初始值。同样，可得的各阶导数的拉氏变换是 （20）式中，…——原函数各阶导数在时刻的值。

3、的拉普拉斯变换是s∧2*F(s)。n阶导数对应的就是s∧n*F(s)。导数的拉氏变换用的是拉氏变换的微分定理，t^(-1) t^(-2) 不能变换是因为0是奇点，无穷积分收敛不了，乘个指数让0处收敛了无穷处又收敛不了。